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Was ist eine Aussageform?


Gegeben sei eine Menge G und ein Element x aus G, genannt Variable der Menge G.

Eine Aussageform über die Menge G mit der Variablen x ist ein Satz A(x), der zur Aussage wird, sobald x in G festgelegt ist.

Die Menge L aller x, für die die Aussageform zur wahren Aussage wird, heißt Lösungsmenge der Aussageform. Die Lösungsmenge ist eine Teilmenge von G.


Beispiele

Die Grundmenge G sei die Menge aller Himmelskörper.

Die Aussageform A(x): „x ist ein Planet des Sonnensystems“ hat als Lösungsmenge die Menge L={Merkur, Venus, Erde, Mars, Saturn, Jupiter, Uranus, Neptun, Pluto}.

Es gilt A(Jupiter): „Jupiter ist ein Planet“ ist eine wahre Aussage.

Aber A(Sonne): „Sonne ist ein Planet“ ist eine falsche Aussage.


Es gibt Aussageformen, deren Lösungsmenge die leere Menge ist, z.B.:

G=R, A(x): „Die Wurzel aus 7“.
L={}, denn es gibt keine reelle Zahl, die die Wurzel aus 7 angibt.


Es gibt Aussageformen, deren Lösungsmenge gleich der Grundmenge ist, z.B.:

G=N, A(x): „Das Quadrat von x ist größer oder gleich x“.
L=N, weil alle natürlichen Zahlen diese Eigenschaft besitzen.